Шпаргалка

Скачать готовые шпаргалки по математике

Категория:

Шпаргалка

Дисциплина:

Математика

Город:

Беларусь, Минск

Учебное заведение:

БНТУ, ФИТР

Стоимость работы:

18 руб.

Оценка: 9
Объем страниц: 97
Год сдачи: 2021
Дата публикации: 07.06.2021

Фрагменты для ознакомления

ШПОРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

 

СОДЕРЖИМОЕ

1. Первообразная и неопределённый интеграл, их свойства. Определение первообразной. 1

2. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределённом интеграле. 3

3. Интегрирование простейших дробей I и II типов. 5

4. Интегрирование простейших дробей III типа. 6

5. Интегрирование простейших дробей IV типа. 7

6. Интегрирование рациональных дробей. 8

7. Универсальная тригонометрическая подстановка. 10

8. Интегралы типа f sin^m  cos^n dx

9. Интегрирование иррациональных функций. 12

10. Интеграл от дифференциального бинома. 13

11. Геометрический и физический смысл определённого интеграла. 14

12. Основные свойства определённого интеграла. 16

13. Производная интеграла с переменным верхним пределом.. 21

14. Формула Ньютона-Лейбница. 22

15. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. 24

16. Несобственные интегралы первого рода. 26

17. Несобственные интегралы второго рода. 27

18. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства. 28

19. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. 29

20. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 30

21. Тройной интеграл. Основные понятия. Свойства. 32

22. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах. 33

23. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах. 34

24. Криволинейные интегралы первого рода. Основные понятия. Свойства. 35

25. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. 37

26. Криволинейные интегралы второго рода. Основные понятия. Свойства. 38

27. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. 39

28. Формула Грина. 41

29. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. 43

30. Поверхностные интегралы первого рода. Основные понятия. Свойства. 45

31. Вычисление поверхностных интегралов первого рода. 47

32. Поверхностные интегралы второго рода. Основные понятия. Свойства. 49

33. Формула Остроградского. 52

34. Формула Стокса. 53

35. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению. 54

36. Градиент скалярного поля. 55

37. Векторное поле. Силовые линии поля. 57

38. Поток векторного поля. 58

39. Дивергенция поля. Формула Остроградского. 60

40. Циркуляция поля. Физический смысл. 63

41. Ротор поля. Формула Стокса. 65

42. Соленоидальное поле. Свойство векторной трубки. 66

43. Потенциальное и гармоническое поле. 67

44. Оператор Гамильтона. Векторные дифференциальные операции первого порядка. 68

45. Векторные дифференциальные операции второго порядка. 69

46. ДУ. Основные понятия. Задачи, приводящие к ДУ. 70

47. ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение. 72

48. Уравнения с разделяющимися переменными. 73

49. Однородные ДУ первого порядка. 75

50. Линейные ДУ первого порядка. Уравнения Бернулли. 76

51. Уравнения в полных дифференциалах. 78

52. ДУ п-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение. 79

53. ДУ, допускающие понижение порядка. 80

54. ЛОДУ второго порядка. Свойства. Линейная независимость. Структура общего решения. 81

55. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид общего решения. 83

56. ЛОДУ п-то порядка с постоянными коэффициентами. 85

57. Структура общего решения ЛНДУ. 86

58. Метод вариации произвольных постоянных для ЛНДУ второго порядка. 87

59. Метод вариации произвольных постоянных для ЛНДУ п-то порядка. 89

60. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. 90

61. Интегрирование ЛНДУ п-то порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. 91

62. Нормальные системы ОДУ. Метод исключения. 92

63. Системы ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Интегрирование с помощью характеристического уравнения. 94

 

1. Первообразная и неопределённый интеграл, их свойства. Определение первообразной

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство:

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x)

 для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство 

Функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C

Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причём эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Таблица основных интегралов
Таблица основных интегралов

 

Свойства неопределённого интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции

2. Неопределённый интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

Неопределённый интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы

3. 

Коэффициент можно выносить за знак неопределённого интеграла

где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределённого интеграла.

4.  Неопределённый интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределённых интегралов функций.

Неопределённый интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределённых интегралов функций

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределённого интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвёртого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
 

Доказательства третьего и четвёртого свойств

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причём между этими задачами очень тесная связь:

  • первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
  • второе свойство неопределённого интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти её первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределённых интегралов.

 

2. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределённом интеграле

 

Замена переменной и интегрирование по частям в неопределённом интеграле
Замена переменной и интегрирование по частям в неопределённом интеграле

 

4. Интегрирование простейших дробей III типа

 

Интегрирование простейших дробей III типа
Интегрирование простейших дробей III типа

 

7. Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальной тригонометрической подстановкой называется подстановка вида 

Универсальная тригонометрическая подстановка

В англоязычной литературе в честь выдающегося немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815 - 1897) называется подстановкой Вейерштрасса.

Указанная подстановка применяется при интегрировании, когда подынтегральное выражение рационально зависит от тригонометрических функций. Указанная замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции.

При этом следует учесть, что из равенства 

Замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции

 получаем:

Замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции
Замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции
Замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции

 

8. Интегралы типа f sin^m  cos^n dx

Для нахождения таких интегралов используются следующие приёмы:

1)  подстановка sinx=t, если n - целое положительное нечётное число;

2)  подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечётное число;

3)  формулы   понижения   порядка:   cos2x=1/2(1+cos2x), sin2x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип - целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка tg х=t, если m+n - есть чётное отрицательное целое число.

 

11. Геометрический и физический смысл определённого интеграла

            Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции.

Криволинейная трапеция

Для этого отрезок [а; b] точками а=х0, х1, ..., b=хn (х0<x1<...<xn) paзобьем на n частичных отрезков [хо;х1], [х1;х2],...,[хn-1;хn]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi] (i=1,2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ(ci).

Умножим значением функции ƒ(ci) на  длину ∆xi=xi-xi-1соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ(ci) • ∆xi равно площади прямоугольника с основанием ∆xi и высотой ƒ(ci). Сумма всех таких произведений

Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближённо равна площади S криволинейной трапеции:

Приближённо равна площади S криволинейной трапеции

С уменьшением всех величин Δхi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆xi →0:

За точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S

Итак, определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определённого интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М.

Найдём работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок [а; b] точками а = х0, х1, ..., b = хn (х0 < x1 < ... < хn) разобьём на n частичных отрезков [х0; x1], [x1; x2],..., [xn-1; xn]. Сила, действующая на отрезке [xi-1; xi], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δхi = хi-xi-1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке изменяется незначительно. Её можно приближённо считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = ci Î [xi-1; xi]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [xi-1;xi], равна произведению F(ci)•Δхi(Как работа постоянной силы F(ci) на участке [xi-1; xi].)

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b] есть

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b]

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δхi Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:

За точное значение работы А принимается предел суммы

Итак, работа переменной силы F , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определённого интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройдённый точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определённому интегралу от скорости v(t):

Путь S, пройдённый точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определённому интегралу от скорости v(t)

масса m неоднородного стержня на отрезке [a,b] равна определённому интегралу от плотности g(х):

Масса m неоднородного стержня на отрезке [a,b] равна определённому интегралу от плотности g(х)
127