Шпаргалка
Готовые шпоры по математике. Ряды. Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Категория: | Шпаргалка |
Дисциплина: | Математика |
Город: | Беларусь, Минск |
Учебное заведение: | БНТУ, ФИТР |
Стоимость работы: | 5 руб. |
Оценка: | 10 |
Объем страниц: | 3 |
Год сдачи: | 2020 |
Дата публикации: | 07.05.2021 |
Фрагменты для ознакомления
1.Ряды
2.Необходимый признак сходимости числового ряда
3.Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
4.Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда
5.Знакочередующиеся ряды(признак Лейбница)
6.Знакопеременные ряды
7.Функциональные ряды
9.Интегрирование функциональных рядов
8.Равномерная сходимость функциональных рядов
10.Дифференцирование функциональных рядов
11.Степенные ряды
12.Ряд Тейлора
13.Разложение в ряж Тейлора элементарных ф-ий
15.Применение степенных рядов
16. Тригон. система ф-ий
17. Тригон. ряд
18 Единственность разложения ф-ий в ряд Фурье
20.Интегрирование периодической ф-ии
21.Разложение в ряд Фурье периодических ф-й с любым периодом
22.Разложение в ряд непрерывных или кус. непрер. ф-й
23.Приближение в среднем квадратическом заданной ф-ии с помощью тригон. полиномов
19. Разложение а ряд четных и нечетных ф-й
24.Интеграл Фурье
26.Ряд Фурье в комплексной форме
27.Интеграл Фурье в комплексной форме
28.Функции комплексного переменного
29.Ф-ии комплексного переменного
30.Геом. смысл ФКП
35.Обратные тригонометрические ф-ии
36.Степенная ф-ия
31.Предел ФКП
32.Непрерывность ФКП
33.Транстендентные ф-ии
34.Тригонометрические ф-ии sinz, cosz, lnz
39.Дифф-л ФКП
37.Производная ф-ии комплексного переменного
38.Необх. и дост. условие ананлитичности (дифф-сти) ф-ии
43.Следствие 1 Если ф-ия f(z) аналитич. в односвязная в обл. D‾, то AB∫f(z)dz не зависит от пути интегрирования
40.Геометр. смысл модуля и аргумента производно ФКП
41.Интегрирование ФКП
42.Основная теорема Коши
44.Следствие 2
45. Т из Основной Т коши
46.Степенные ряды ФКП
47.Нули и полюсы ФКП и классификация особых точек
48.Вычеты ФКП
1. Ряды
Числ ряд – сумма упорядоченного мн-ва чисел;
a1+а2+а3+…+аn+…
ai- член числ послед-ти
Частичные суммы ряда:
S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
Sn=a1+a2+a3+…+an
Сумма ряда – предел вида S=limn→∞Sn, если он сущ.
Если предел не существует или =∞ — ряд расход, в противн случае сходиться
S=Sn+rn
rn– остаток ряда(остаточный член)
Если ряд сходиться, то rn →0 при n→∞
2. Необходимый признак сходимости числового ряда
(1) a1+а2+а3+…+аn+…
Если числовой ряд (1) сходиться, то предел его n-го члена при n→∞ равен 0
Док-во: по определению ряд сходится =>
Сущ. limn→∞Sn=S
Если последовательность имеет предел, то он единственный
limn→∞Sn+1=S
limn→∞(Sn+1-Sn)=S-S=0
limn→∞an+1=0, ч.т.д.
Например(именно, что это необходимый признак):
1+1/2+1/3+1/4+…+1/n…
S2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/(n+1)+…1/(2n)
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n
S2n-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n) ≥n/(2n)=1/2
Если бы ряд сходился, то S2n-Sn=0 => получили противоречие => ряд расходиться
Следствие: если limn→∞an≠0, то числовой ряд расходиться
Св-ва:
1) если ряд (1) сходиться в сумме S, то и ряд, полученный из данного при умножении ai на λ (i=1,n), тоже сходиться, и его сумма равна λS.
Док-во: limn→∞Sn=S
Sn= a1+a2+a3+…+an
δn= λa1+ λa2+ λa3+…+ λan
limn→∞δn= λ limn→∞Sn= λS
2) Если сходиться ряд (1) в сумме S, и сходиться ряд (2) b1+b2+b3+…+bn в сумме δ, то и сходиться ряд 3 (a1±b1 +a2±b2 +a3±b3 +…+an±bn+…) в сумме S±δ
Док-во: аналогично.
3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
1) сравнения
Т. Если члены ряда (1) и (2) удовлетворяют условию an≥bn, то
1) если сходиться ряд (1), то сходиться и ряд (2)
2) если расходиться ряд (2), то расходиться и ряд (1)
Док-во: 1) т.к. an≥bn и оба положительны Sn> δn , где Sn – частичная сумма ряда (1), δn – част. сумма ряда(2) =>
limn→∞Sn≥ limn→∞δn=> если сущ. левый предел, то сущ. и правый.
Если не сущ. правого, то не сущ. и левого
Следствие: если limn→∞ (an/bn)=A (A≠0,A≠∞), то эти ряды сходятся или расходятся одновременно
Док-во: аналогично (an=A*bn)
2) Даламбера
(1) a1+а2+а3+…+аn+…
если limn→∞ (an+1/an)=q, то 1)при q<1 ряд сходиться 2) при q>1 ряд расходиться
Док-во: на основании связи ф-ии и её БМВ и предела
an+1/an=q+ε => можно подобрать q+ε<1
Пусть an+1/an= l an+1= l an (a2=a1l; a3=a1l 2; …an=a1 l n-1)
a1+ a1 l + a1 l 2+ a1 l 3+… a1 l n+… => это геометрическая прогрессия =>
1)при l <1 ряд сходиться
2)при l >1 ряд расходиться
3)Коши (радикальный)
Если в ряду (1) limn→∞n√an= l, то 1) при l<1 ряд сх. 2) при l>1 ряд расх.
Док-во: n√an= l,+ ε<1
an=λn λ+λ2+λ3+λ4+…+λn+… —при λ<1 –убывающая геом. прогрессия (сх.), λ>1 расх., ч.т.д.
4)Коши (интегральный)
Если члены знакоположительного ряда убывают(a1>а2>а3>…>аn…), и сущ. f(x) ф-ия такая, что f(1)=a1, f(2)=a2,…f(n)=an, то
1)этот ряд сходиться, если сх. 1∫∞f(x)dx
2)если 1∫∞f(x)dx расх., то и ряд расх.
Док-во: по условию an≥f(n) ≥an+1 =>
Sn ≥ 1∫∞f(n)dn≥ Sn+1
limn→∞Sn ≥ limn→∞ 1∫∞f(n)dn ≥ limn→∞ Sn+1
Sn+1= Sn+an, ч.т.д.
4. Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда
(1) a1+а2+а3+…+аn+…
Для того, чтобы ряд (1) сходился, необх. и достаточно, чтобы последовательность его частичных числовых сумм была ограничена
Док-во(необх):
док-ем, что послед. числ. сумм ряда (1) ограничена.
limn→∞Sn=S
(2)S1, S2, S3,… Sn…
По теореме о числов. послед., имеющей предел, эта послед. – ограничена ч.т.д.
(достаточн.) Считаем что послед. ограничена и возрастает =>(по Т. Вейерштрасса ) имеет предел, т.е. limn→∞Sn=S =>ряд сходится ч.т.д.
5. Знакочередующиеся ряды(признак Лейбница)
Знакочередующиеся ряды(признак Лейбница) – ряды вида a1-а2+а3-a4+…+(-1)n-1аn+… (1)
Признак Лейбница (необх). Если в знакочед. ряде (1) члены по абсолютной величине монотонно убывают и предел limn→∞an=0, то такой знакоред. ряд сход., сумма его положительна и не превосходит a1.
Док-во:
S2m= a1-а2+а3-a4+a5-…-a2=(a1-a2)+ (a3-a4)+… +(a2m-1-a2m)>0
S2m= a1-(a2-a3)- (a4-a5)-… -a2m≤a1
limm→∞S2m+1= limm→∞(S2m+a2m+1)= limm→∞S2m+ limm→∞a2m+1(второе слагаемое по усл. =0) =>
Ряд сходится и 0<S≤a1
6. Знакопеременные ряды
Знакопеременные ряды — ряд, среди членов которого имеются и полож. и отрицательные члены.
(1)U1+U2+U3-U4-U5+U6+U7…
Т. Если ряд, составленный из абс. величин членов знакочеред ряда сходится, то сходиться и данный ряд (абс. сходимость)
(2) |U1|+|U2|+|U3|+U4|+…+|Un|…
Док-во:
Sn=Sn1-Sn2 (Sn1- сумма положительных, Sn2- сумма отрицат.) – по абс.
δn= Sn1+Sn2 δn> Sn
limn→∞δn=S limn→∞δn> limn→∞Sn
Если ряд (1) сходиться, а ряд (2) расх – условная сходимость
Св-ва:
1.Если знакоперем. ряд сходиться абс-но, то сход. абс. и ряд, полученный из данного, перестановкой его членов (без док-ва)
2. Если знакоперем. ряд сходиться условно, то задав любое число можно переставить его члены так, что a) сумма его окажется равной этому числу; или b) ряд окажется расходящимся.
7. Функциональные ряды
Функциональные ряды – ряд, членами которого являются ф-ии одного и того же аргумента
(1)U1(x)+U2(x)+U3(x)+…Un(x)+…
мн-во значений аргументов ф-го ряда, при которых этот ряд сх. – наз. областью сходимости ф-го ряда
S(x)=Sn(x)+rn(x)
Sn(x)– n-частичная сумма
rn(x) – ост. член ряда Sn(x)
limn→∞Sn(x)= S(x) =>если ряд сходится limn→∞ rn(x)=0
8. Равномерная сходимость функциональных рядов
Ф-ный ряд (1) наз. равномерносходящимся на отрезке [a;b], если задав любое ε>0 можно указать такой номер N, что для всех n>N,будет выполняться неравенство | S(x) -Sn(x)|< ε
Т. Если члены ф-ного ряда (1) непрерывны на отрезке [a;b] и этот ряд сход. равномерно на этом отрезке к сумме S(x), то сумма этого ф-ного ряда будет также непрерывна на этом отрезке.
Док-во:
S(x)=Sn(x)+rn(x) limn→∞ rn(x)=0 x€ [a;b]
S(x)= limn→∞ Sn(x)
| S(x) -Sn(x)|< ε | x-x0 |<δ
S(x0)=Sn(x0)+rn(x0)
S(x)- S(x0)=Sn(x)- Sn(x0)+rn(x)- rn(x0)
|S(x)- S(x0) |≤|Sn(x)- Sn(x0) |(<ε/3)+ |rn(x)|(<ε/3)+ |rn(x0) |(<ε/3)
|S(x)- S(x0) |<ε, ч.т.д.
Признак Вейерштрасса
Т. Если члены ф-ного ряда (1) непрерывны на отрезке [a;b] и на этом отрезке удовлетворяют условию
|Un(x)| ≤cn, где cn – член знакополож. сходящегося ряда с1+с2+с3+…+cn+…, то этот ф-ный ряд сх. равномерно на [a;b]
Док-во:
Sn(x)= U1(x)+U2(x)+U3(x)+…Un(x)
δn= с1+с2+с3+…+cn
S(x)=Sn(x)+rn(x)
δ= δn+rn rn→0 | Sn(x)| ≤|δn|(по условию)
limn→∞ Sn(x)≤limn→∞ δn
limn→∞ |rn(x) |≤ limn→∞ |rn|
|S(x)-Sn(x)| ≤ |rn|< ε, ч.т.д.
