Готовые шпоры по математике. Ряды. Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

1.Ряды

2.Необходимый признак сходимости числового ряда

3.Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

4.Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда

5.Знакочередующиеся ряды(признак Лейбница)

6.Знакопеременные ряды

7.Функциональные ряды

9.Интегрирование функциональных рядов

8.Равномерная сходимость функциональных рядов

10.Дифференцирование функциональных рядов

11.Степенные ряды

12.Ряд Тейлора

13.Разложение в ряж Тейлора элементарных ф-ий

15.Применение степенных рядов

16. Тригон. система ф-ий

17. Тригон. ряд

18 Единственность разложения ф-ий  в ряд Фурье

20.Интегрирование периодической ф-ии

21.Разложение в ряд Фурье периодических ф-й с любым периодом

22.Разложение в ряд непрерывных или кус. непрер. ф-й

23.Приближение в среднем квадратическом заданной ф-ии с помощью тригон. полиномов

19. Разложение а ряд четных и нечетных ф-й

24.Интеграл Фурье

26.Ряд Фурье в комплексной форме

27.Интеграл Фурье в комплексной форме

28.Функции комплексного переменного

29.Ф-ии комплексного переменного

30.Геом. смысл ФКП

35.Обратные тригонометрические ф-ии

36.Степенная ф-ия

31.Предел ФКП

32.Непрерывность ФКП

33.Транстендентные ф-ии

34.Тригонометрические ф-ии sinz, cosz, lnz

39.Дифф-л ФКП

37.Производная ф-ии комплексного переменного

38.Необх. и дост. условие ананлитичности (дифф-сти) ф-ии

43.Следствие 1 Если ф-ия f(z) аналитич. в односвязная в обл. D‾, то AB∫f(z)dz не зависит от пути интегрирования

40.Геометр. смысл модуля и аргумента производно ФКП

41.Интегрирование ФКП

42.Основная теорема Коши

44.Следствие 2

45. Т из Основной Т коши

46.Степенные ряды ФКП

47.Нули и полюсы ФКП и классификация особых точек

48.Вычеты ФКП

1. Ряды

Числ ряд – сумма упорядоченного мн-ва чисел;

a1+а2+а3+…+аn+…             

ai- член числ послед-ти

Частичные суммы ряда:

S1=a1

S2=a1+a2

S3=a1+a2+a3

Sn=a1+a2+a3+…+an

Сумма ряда – предел вида S=limn→∞Sn, если он сущ.

Если предел не существует или =∞ — ряд расход, в противн случае сходиться

S=Sn+rn                    

rn– остаток ряда(остаточный член)

Если ряд сходиться, то rn →0 при n→∞

2. Необходимый признак сходимости числового ряда

(1) a1+а2+а3+…+аn+…

Если числовой ряд (1) сходиться, то предел его n-го члена при n→∞ равен 0

Док-во: по определению ряд сходится => 

Сущ. limn→∞Sn=S

Если последовательность имеет предел, то он единственный

limn→∞Sn+1=S

limn→∞(Sn+1-Sn)=S-S=0

limn→∞an+1=0, ч.т.д.

Например(именно, что это необходимый признак):

1+1/2+1/3+1/4+…+1/n…

S2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/(n+1)+…1/(2n)

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n

S2n-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n) ≥n/(2n)=1/2

Если бы ряд сходился, то S2n-Sn=0 => получили противоречие => ряд расходиться

Следствие: если limn→∞an≠0, то числовой ряд расходиться

Св-ва:

1) если ряд (1) сходиться в сумме S, то и ряд, полученный из данного при умножении ai на λ (i=1,n), тоже сходиться, и его сумма равна λS.

Док-во: limn→∞Sn=S

Sn= a1+a2+a3+…+an

δn= λa1+ λa2+ λa3+…+ λan

limn→∞δn= λ limn→∞Sn= λS

2) Если сходиться ряд (1) в сумме S, и сходиться ряд (2) b1+b2+b3+…+bn в сумме δ, то и сходиться ряд 3 (a1±b1 +a2±b2 +a3±b3 +…+an±bn+…) в сумме S±δ

Док-во: аналогично.

3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

1) сравнения

Т. Если члены ряда (1) и (2) удовлетворяют условию an≥bn, то 

1) если сходиться ряд (1), то сходиться и ряд (2)

2) если расходиться ряд (2), то расходиться и ряд (1)

Док-во: 1) т.к. an≥bn и оба положительны Sn> δn , где Sn – частичная сумма ряда (1), δn – част. сумма ряда(2) => 

limn→∞Sn≥ limn→∞δn=> если сущ. левый предел, то сущ. и правый. 

Если не сущ. правого, то не сущ. и левого

Следствие: если limn→∞ (an/bn)=A (A≠0,A≠∞), то эти ряды сходятся или расходятся одновременно 

Док-во: аналогично (an=A*bn)

2) Даламбера 

(1) a1+а2+а3+…+аn+…

если limn→∞ (an+1/an)=q, то 1)при q<1 ряд сходиться 2) при q>1 ряд расходиться

Док-во: на основании связи ф-ии и её БМВ и предела

an+1/an=q+ε => можно подобрать q+ε<1

Пусть an+1/an= l an+1= l an (a2=a1l; a3=a1l 2; …an=a1 l n-1)

a1+ a1 l + a1 l 2+ a1 l 3+… a1 l n+… => это геометрическая прогрессия =>

1)при l <1 ряд сходиться

2)при l >1 ряд расходиться 

3)Коши (радикальный)

Если  в ряду (1) limn→∞n√an= l, то 1) при l<1 ряд сх. 2) при l>1 ряд расх.

Док-во: n√an= l,+ ε<1

an=λn              λ+λ2+λ3+λ4+…+λn+… —при λ<1 –убывающая геом. прогрессия (сх.), λ>1 расх., ч.т.д.

4)Коши (интегральный)

Если члены знакоположительного ряда убывают(a1>а2>а3>…>аn…), и сущ. f(x) ф-ия такая, что f(1)=a1, f(2)=a2,…f(n)=an, то 

1)этот ряд сходиться, если  сх. 1∫∞f(x)dx

2)если 1∫∞f(x)dx расх., то и ряд расх.

Док-во: по условию an≥f(n) ≥an+1 => 

Sn ≥ 1∫∞f(n)dn≥ Sn+1

limn→∞Sn ≥ limn→∞ 1∫∞f(n)dn ≥ limn→∞ Sn+1

Sn+1= Sn+an, ч.т.д.

4. Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда

(1) a1+а2+а3+…+аn+…

Для того, чтобы ряд (1) сходился, необх. и достаточно, чтобы последовательность его частичных числовых сумм была ограничена

Док-во(необх):

док-ем, что послед. числ. сумм ряда (1) ограничена.

limn→∞Sn=S                            

(2)S1, S2, S3,… Sn…              

По теореме о числов. послед., имеющей предел, эта послед. – ограничена ч.т.д.

(достаточн.) Считаем что послед. ограничена и возрастает =>(по Т. Вейерштрасса ) имеет предел, т.е. limn→∞Sn=S =>ряд сходится ч.т.д.

5. Знакочередующиеся ряды(признак Лейбница)

Знакочередующиеся ряды(признак Лейбница) – ряды  вида a1-а2+а3-a4+…+(-1)n-1аn+… (1)

Признак Лейбница (необх). Если в знакочед. ряде (1) члены по абсолютной величине монотонно убывают и предел limn→∞an=0, то такой знакоред. ряд сход., сумма его положительна и не превосходит a1.

Док-во:

S2m= a1-а2+а3-a4+a5-…-a2=(a1-a2)+ (a3-a4)+… +(a2m-1-a2m)>0

S2m= a1-(a2-a3)- (a4-a5)-… -a2m≤a1

limm→∞S2m+1= limm→∞(S2m+a2m+1)= limm→∞S2m+ limm→∞a2m+1(второе слагаемое по усл. =0) =>

Ряд сходится и 0<S≤a1

6. Знакопеременные ряды

Знакопеременные ряды — ряд, среди членов которого имеются и полож. и отрицательные члены.

(1)U1+U2+U3-U4-U5+U6+U7…

Т. Если ряд, составленный из абс. величин членов знакочеред ряда сходится, то сходиться и данный ряд (абс. сходимость)

(2) |‌U1|+|U2|+|U3|+U4|+…+|Un|…

Док-во:

Sn=Sn1-Sn2 (Sn1- сумма положительных, Sn2- сумма отрицат.) – по абс.

δn= Sn1+Sn2                                                         δn> Sn

limn→∞δn=S                            limn→∞δn> limn→∞Sn

Если ряд (1) сходиться, а ряд (2) расх – условная сходимость

Св-ва:

1.Если знакоперем. ряд сходиться абс-но, то сход. абс. и ряд, полученный из данного, перестановкой его членов (без док-ва)

2. Если знакоперем. ряд сходиться условно, то задав любое число можно переставить его члены так, что a) сумма его окажется равной этому числу; или b) ряд окажется расходящимся.

7. Функциональные ряды

Функциональные ряды – ряд, членами которого являются ф-ии одного и того же аргумента

(1)U1(x)+U2(x)+U3(x)+…Un(x)+…

мн-во значений аргументов ф-го ряда, при которых этот ряд сх. – наз. областью сходимости ф-го ряда

S(x)=Sn(x)+rn(x)                   

Sn(x)– n-частичная сумма  

rn(x) – ост. член ряда Sn(x)

limn→∞Sn(x)= S(x) =>если ряд сходится limn→∞ rn(x)=0

8. Равномерная сходимость функциональных рядов

Ф-ный ряд (1) наз. равномерносходящимся на отрезке [a;b], если задав любое ε>0 можно указать такой номер N, что для всех n>N,будет выполняться неравенство | S(x) -Sn(x)|< ε

Т. Если  члены ф-ного ряда (1) непрерывны на отрезке [a;b] и этот ряд сход. равномерно на этом отрезке к сумме S(x), то сумма этого ф-ного ряда будет также непрерывна на этом отрезке.

Док-во:

S(x)=Sn(x)+rn(x)      limn→∞ rn(x)=0 x€ [a;b]

S(x)= limn→∞ Sn(x)

| S(x) -Sn(x)|< ε                     | x-x0 |<δ

S(x0)=Sn(x0)+rn(x0)

S(x)- S(x0)=Sn(x)- Sn(x0)+rn(x)- rn(x0)

|S(x)- S(x0) |≤|Sn(x)- Sn(x0) |(<ε/3)+ |rn(x)|(<ε/3)+ |rn(x0) |(<ε/3)

|S(x)- S(x0) |<ε, ч.т.д.

Признак Вейерштрасса 

Т. Если  члены ф-ного ряда (1) непрерывны на отрезке [a;b] и на этом отрезке удовлетворяют условию 

|Un(x)| ≤cn, где cn – член знакополож. сходящегося ряда с1+с2+с3+…+cn+…, то этот ф-ный ряд сх. равномерно на [a;b]

Док-во:

Sn(x)= U1(x)+U2(x)+U3(x)+…Un(x)

δn= с1+с2+с3+…+cn

S(x)=Sn(x)+rn(x)

δ= δn+rn   rn→0   | Sn(x)| ≤|δn|(по условию)

limn→∞ Sn(x)≤limn→∞ δn

limn→∞ |rn(x) |≤ limn→∞ |rn|

|S(x)-Sn(x)| ≤ |rn|< ε, ч.т.д.