Шпаргалка

Шпоры по математике. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Даламбера, Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Категория:

Шпаргалка

Дисциплина:

Математика

Город:

Беларусь, Минск

Учебное заведение:

БНТУ, ФИТР

Стоимость работы:

7 руб.

Оценка: 10
Объем страниц: 6
Год сдачи: 2020
Дата публикации: 14.06.2021

Фрагменты для ознакомления

Вопросы

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. 

2. Необходимый признак сходимости. Основные свойства числовых рядов. 

3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши). 

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 

5. Знакопеременные ряды. Теорема о сходимости знакопеременного ряда. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 

6. Функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Область сходимости. 

7. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. 

8. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. 

9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Вычисление радиуса сходимости. 

10. Ряды Тейлора и Маклорена. 

11. Достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора. 

12. Разложение в ряд Тейлора элементарных функций (sin х, cos х, е в степени X , 1n(l +х), (1 +х) в степени Alfa). 

13. Применение степенных рядов к вычислению интегралов, значений функций, решению ДУ. 

14. Тригонометрическая система функций и ее свойства. 

15. Тригонометрический ряд. Сходимость. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. 

16. Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п.

17. Разложение в ряд функций с периодом 2 l.

18. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. 

19. Разложение в ряд Фурье периодических функций. 

20. Приближение в среднем функции тригонометрическими полиномами. 

21. Неравенство Бесселя. 

22. Интеграл Фурье. Синус и косинус преобразование Фурье.

23. Ряд Фурье в комплексной форме. 

24. Интеграл Фурье в комплексной форме.

25. Определение и область существования функции комплексной переменной  (ФКП). 

26. Предел и непрерывность ФКП. 

27. Дифференцирование ФКП. 

28. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП. 

29. Аналитичность ФКП. Условия Коши-Римана. 

30. Интегрирование ФКП. 

3l. Интегральная формула Коши. 

32. Степенные ряды ФКП. Радиус и круг сходимости.

ЗЗ. Ряд Тейлора ФКП. 

34. Ряд Лорана и область его сходимости. 

35. Особые точки и их классификация. 

36. Вычеты ФКП. 

37. Применение вычетов к вычислению интегралов.

 

Скриншоты ответов:

Скриншоты ответов
Скриншоты ответов

 

Примеры вопросов и ответов:

2. Необходимый признак сходимости числового ряда

(1) a1+а2+а3+…+аn+…

Если числовой ряд (1) сходиться, то предел его n-го члена при n→∞ равен 0

Док-во: по определению ряд сходится => 

Сущ. limn→∞Sn=S

Если последовательность имеет предел, то он единственный

limn→∞Sn+1=S

limn→∞(Sn+1-Sn)=S-S=0

limn→∞an+1=0, ч.т.д.

Например(именно, что это необходимый признак):

1+1/2+1/3+1/4+…+1/n…

S2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/(n+1)+…1/(2n)

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n

S2n-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n) ≥n/(2n)=1/2

Если бы ряд сходился, то S2n-Sn=0 => получили противоречие => ряд расходиться

Следствие: если limn→∞an≠0, то числовой ряд расходиться

Свойства:

1) если ряд (1) сходиться в сумме S, то и ряд, полученный из данного при умножении ai на λ (i=1,n), тоже сходиться, и его сумма равна λS.

Док-во: limn→∞Sn=S

Sn= a1+a2+a3+…+an

δn= λa1+ λa2+ λa3+…+ λan

limn→∞δn= λ limn→∞Sn= λS

2) Если сходиться ряд (1) в сумме S, и сходиться ряд (2) b1+b2+b3+…+bn в сумме δ, то и сходиться ряд 3 (a1±b1 +a2±b2 +a3±b3 +…+an±bn+…) в сумме S±δ

Доказательство: аналогично.

Необходимый признак сходимости числового ряда
Необходимый признак сходимости числового ряда

 

3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши)

Признак сравнения.

Пусть имеем два ряда с положительными членами

a1+a2+…+an+…(1) и b1+b2+…+bn+… (2), для которых выполняется условие: an ≥ bn. Тогда 1) если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2); 2) если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1) .

Доказательство:

Поскольку  an ≥ bn и an, bn — положительные, то м. утверждать: 

где Sn и σn — n-частичные суммы 1-го и 2-го рядов;

 

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши)
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (сравнения, Даламбера, Коши).

 

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

 

6. Функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Область сходимости

Функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Область сходимости
Функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Область сходимости

 

7. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса

Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса
Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса

 

25. Определение и область существования функции комплексной переменной  (ФКП)

E, k — множества значений                              w = f(z)

z, w — их переменные

Если переменной z из множества E становится в соответствие значение w из множества k (одно или несколько), то w называется функцией от z.

Если одному значению z становится в соответствие одно значение w — функция однозначна, если несколько — многозначна.

Если переменная задается в обл. D, а в области g, то D — область определения, а g — область значений функции w.

 

26. Предел и непрерывность ФКП

Предел ФКП

W=f(z) – однозначна и определена во всех точках (за исключением z=zo).

Предел функции W в точке zo – такое число А, что, задав любое ε>0, можно указать такое δ>0, для всех значений z, | z-zo | < δ, выполняется неравенство | f(z)-A | < ε

lim W= lim f(z)=A, где А=В+iС.

z→zo     z→zo

Теорема. Если существует limf(z), и он равен А, где А=В+iС, то существует 

                                              z→zo

limU(x,y), и он равен В, и существует limυ(x,y)=С.

x→xo                                                                                    x→xo

y→yo                                                                                   y→yo

Доказательство: по определению предела

                              | f(z)-A | < ε

т.к. zo=xo+iyo,

f(z)= U(x,y)+iυ(x,y)

| U(x,y)+iυ(x,y)-(B+iC) | < ε

| U-B-i(υ-C) | < ε     и      | x+iy-(xo+iyo) | < ε (по определению)

| (U-B)+i(υ-C) |=sqrt((U-B)2+( υ-C)2) < ε     и   | (x-xo)+i(y-yo) |=sqrt((x-xo)2+( y-yo)2) < ε

| U-B | < ε     и      | υ-C | < ε,    при   | x-xo | < δ     и     | y-yo | < δ,

т.е.    limU(x,y), и он равен В, и существует limυ(x,y)=С.

          x→xo                                                                                   x→xo

          y→yo                                                                                   y→yo

Согласно данной теореме, свойства пределов справедливы для ФКП.

Определение. Предел функции W=f(z) при z→∞, называется число А, что, задав любое >0, можно указать такое N>0, что для всех | z | > N выполняется неравенство | f(z)-A | < ε

lim f(z)=A (предел бесконечной точки). 

z→∞

Непрерывность ФКП

Функция W=f(z) определена в некоторой замкнутой области Д и zоєД.

Определение. Функция W=f(z) называется непрерывной в точке zо, если предел

lim f(z)= f(zо)≠0.

z→zo

Функция называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в любой точке этой области.

    limU(x,y)= U(xо,yо)                  и           limυ(x,y)= υ(xо,yо)

    x→xo                                                                                x→xo

    y→yo                                                                                y→yo

Если f(z) непрерывна в точке zo, то и функция U(x,y) и υ(x,y) непрерывны в точке (xо,yо).

Теорема о непрерывности действительной функции подходит для ФКП, за исключением неравенств.

Определение. Функция f(z) называется непрерывной в бесконечно удалённой точке z=∞, если предел f(z) при z→∞ равен Wo (конечному числу) и это число может выходить за область значений функции.

 

32. Степенные ряды ФКП. Радиус и круг сходимости

Степенной ряд-ряд вида (1)

Степенной ряд-ряд вида

где С- постоянные комплексные числа.

Если a=0 то (2):

Степенной ряд-ряд вида

подстановкой z-a=t можно перейти от (1) к (2).

Т. Абеля: Если ряд (2) сходится абсолютно при z=z0, то он сходится абсолютно и при всех |z|<|z0|. Если ряд (2) расходится при z=z1, то он расходится и при всех z |z|>|z1|.

Радиус сходимости:

|z-a|=R-круг включая границы

|z-a|<R-круг без границы

Область сходимости степенного ряда - круг. На границе исследовать дополнительно.

428